模块一：数据表示与运算（补码、移码、无符号数）
- 基础概念与数学表达
· 补码（Two's Complement）：计算机内部存储整数的方式。正数与原码相同，负数通过“按位取反，末位加一”求得。
· 移码（Offset Binary）：常用于浮点数阶码。与补码的关系是符号位取反，数值位不变。
· 🔥易错点：移码没有正负零之分，且移码的大小顺序与无符号数一致，这保证了浮点数的比较可以直接按整数比较。
· 偏置值为 2^{n-1} 时：[x]_{移} = x + 2^{n-1} \quad (x \in [-2^{n-1}, 2^{n-1}-1])
· 偏置值为 2^{n-1}-1 时：[x]_{移} = x + (2^{n-1}-1)
- 🔥 痛点突破：为什么补码和真值关系不如原码直观？
· 原码是“所见即所得”（符号位+绝对值，人类直觉，但机器运算复杂）。
· 补码是“所算即所得”（同余运算，机器直接当无符号数加，高位进位丢弃，硬件极简）。代价是违背人类直觉。
· 示例：真值 -5 的 8 位表示：
· 原码：1000\ 0101 （直观）
· 补码：1111\ 1011 （不直观，需大脑执行“取反加一”逆运算）
- 🔥 极值求解考题复盘（8位二进制，2个“0”和6个“1”）
· 无符号数范围：0011\ 1111_2 = 63 至 1111\ 1100_2 = 252。
· 求补码最小值：最高位（符号位）必须为 1（负数）。剩下7位分配2个 0 和5个 1。为了让负数值最小（绝对值最大），数值位应尽可能小，即放 0000011_2 = 3。
· 公式：最小值 = -128 + 3 = -125
· 求补码最大值：最高位必须为 0（正数）。剩下7位分配1个 0 和6个 1。为了让正数值最大，数值位的 1 应尽量靠左（权值大），即放 1111110_2 = 126。
· 公式：最大值 = 0 + 126 = 126
· 求移码最值：移码不改变无符号数的大小顺序。直接拿无符号数的最值减去偏置值即可。
· 偏置127：63 - 127 = -64（最小）；252 - 127 = 125（最大）
· 偏置128：63 - 128 = -65（最小）；252 - 128 = 124（最大，注意干扰项写的是123）
- 🔥 C语言类型转换（无符号转有符号）复盘
· 例题：unsigned short usi = 65535; short si = usi; 求 si 的真值。
· 底层逻辑：位模式原封不动拷贝（都是 1111\ 1111\ 1111\ 1111）。
· 解释权变更：无符号数看全是数值；有符号数看最高位是符号位。最高位 1 代表负数。
· 求真值（补码转原码）：符号位不变，数值位按位取反再加1，得到 1000\ 0000\ 0000\ 0001，即 -1。
· 速记：全 1 的补码，真值就是 -1。
- 补码减法与溢出判断
· 基本公式：[A - B]_{补} = [A]_{补} + [-B]_{补}
· 求 [-B]_{补} 的方法：将 [B]_{补} 连同符号位一起按位取反，末位加 1。
· 溢出判断：
· 方法一：数学结果是否超出 [-128, 127]（8位情况）。
· 方法二：两个同符号数相加，若结果符号与原符号相反，则发生溢出。（正+正=负，或 负+负=正 均为溢出）。
· 运算规则：最高位产生的进位 1 必须丢弃，只保留低8位。
模块二：CPU 性能指标
- 核心公式与关系表达
· 主频与时钟周期：T = \frac{1}{f} （单位：秒 s）
· CPI（执行一条指令所需的平均时钟周期数）：
CPI = \frac{\text{程序总时钟周期数}}{\text{程序总指令数}} = \sum_{i=1}^{n} (CPI_i \times \text{指令比例}_i)
· IPC（每周期执行的指令数）：IPC = \frac{1}{CPI}
· MIPS（每秒百万条指令）：
MIPS = \frac{\text{指令总数}}{\text{执行时间} \times 10^6} = \frac{f}{CPI \times 10^6}
· 平均指令周期（时间）：
\text{平均指令周期}(\mu s) = \frac{\text{执行时间}}{\text{指令总数}} = \frac{1}{MIPS}
· CPU 执行时间：
CPU执行时间 = \text{指令总数} \times CPI \times T = \frac{\text{指令总数}}{MIPS \times 10^6}
- 🔥 痛点突破：真题中“增加新指令”为什么总指令数变了？
· 原文陷阱：“增加一种新指令”实为“替换”。
· 逻辑：编译器优化时，将原有的 [LOAD指令 + 算术逻辑指令] 合并替换成了 [1条新指令]。
· 后果：程序逻辑不变，但总指令条数绝对减少了！所以不能拿 M 作为新分母，必须计算出新的总指令数 M'，再去求各指令的新比例。
· 公式：新总指令数 M' = M - (\text{被替换的指令数量})。
· 计算新比例时：\text{新指令比例} = \frac{\text{新指令数量}}{M'}。
- 单位换算避坑指南
· 1s = 10^3 ms = 10^6 \mu s = 10^9 ns
· MIPS 公式中的 10^6 是因为 MIPS 是“百万条/秒”。如果给出的是 Hz（如 2GHz = 2 \times 10^9 Hz），直接代入 f 就行。
模块三：易混淆概念对比表
易混淆概念 本质区别 公式或关系
CPI vs IPC CPI 是“做一件事要几个周期”；IPC 是“一个周期能做几件事” IPC = \frac{1}{CPI}
平均指令周期 vs CPU执行时间 前者是单条指令平均耗时；后者是整个程序总耗时 CPU执行时间 = 总指令数 \times 平均指令周期
平均指令周期（周期数） vs 平均指令周期（时间） 前者带单位“周期/条”，就是 CPI；后者带单位“秒/条” 时间 = CPI \times T
原码 vs 补码 原码直观但计算复杂；补码计算简单但人类不直观 正数补码=原码；负数补码=反码+1
无符号数转有符号数 内存二进制位不变，仅仅改变了解释方式 最高位为1时，数值 = 无符号值 - 2^n
模块四：针对性复盘练习题（附解析）
题目1（数据表示）：
某机字长8位，采用补码表示。若某数的补码为 1111\ 1110，则其真值为多少？若将其视为无符号数，真值又是多少？
· 解析：
· 视为补码（负数）：按位取反得 1000\ 0001，加1得 1000\ 0010，真值为 -2。
· 视为无符号数：按权展开 128+64+32+16+8+4+2 = 254。
· 🔥 重点强化：这就是“解释权不同，结果天壤之别”的典型例子。
题目2（补码减法）：
使用8位补码计算 15 - 20，并写出机器运算过程和溢出判断。
· 解析：
· [15]_{补} = 0000\ 1111
· [20]_{补} = 0001\ 0100，取反加1得 [-20]_{补} = 1110\ 1100
· 相加：0000\ 1111 + 1110\ 1100 = 1111\ 1011
· 结果解释：最高位为 1，是负数。转原码求真值：取反加1得 0000\ 0101，即 -5。
· 溢出判断：正数加负数，结果必然在范围内，无溢出。
题目3（CPU性能指标）：
某CPU主频为 2GHz，程序包含 10^6 条指令，平均 CPI = 2.5。求该程序的 CPU 执行时间与 MIPS。
· 解析：
· 时钟周期 T = \frac{1}{2 \times 10^9}s = 0.5ns
· CPU执行时间 = \frac{10^6 \times 2.5}{2 \times 10^9} = 1.25 \times 10^{-3}s = 1.25ms
· MIPS = \frac{2 \times 10^9}{2.5 \times 10^6} = 800
题目4（综合真题陷阱）：
某程序原本有 100 条指令，其中 40\% 为 LOAD 指令（CPI=2），60\% 为算术指令（CPI=1）。现在将 1 条 LOAD 和 1 条算术指令合并为 1 条新指令（CPI=3），新指令替换了原本 20\% 的算术指令。求优化后的新 CPI。
· 解析：
· 原指令数：LOAD = 40条，算术 = 60条。
· 被替换的算术指令：60 \times 20\% = 12 条。
· 新指令数：替换产生 12 条新指令；剩余算术 60 - 12 = 48 条；LOAD 不变 40 条。总指令数 M' = 12 + 48 + 40 = 100 条。（注：本题数字设计为刚好总数不变，如果换其他数字需按上文逻辑重新算比例。假设换数字导致总数为 M' = 88 条，则新比例需全部除以 88）。
· 新 CPI = (40/100)\times2 + (48/100)\times1 + (12/100)\times3 = 0.8 + 0.48 + 0.36 = \mathbf{1.64}。